Nos libros de texto preséntase o tema mediante un problema típico con dúas variables. De seguido resólvese. A todos os problemas que teñan unha estrutura similar aplicarémoslle o mesmo método. O Geogebra é, sen dúbida un moi bo aliado para relatar como funcionan estes procedementos. Xa que Aldán Santamarina, o matemático-normalizador de Moaña, fixo o traballo de nolo explicar, isto é o que ten que saber o alumnado de 2º de bacharelato sobre a programación linear:
Para introducir a cuestión podemos partir dun exemplo simple. Consideremos a seguinte serie de restriccións:
$$x\ge 0\\ y\ge 0\\ x+y\le 4 $$
Coa función obxectivo $$f(x,y)=2x+y$$
Para resolver o problema establecemos primeiro a rexión factible, T, determinada polas restriccións dadas.
Do que se trata é de determinar, de entre todos os puntos da rexión factible T cal é (cales son) aquel para o que a función obxectivo toma o maior valor. (Noutros problemas interesa o valor mínimo).
A solución do problema pódese consultar na seguinte aplicación. Ao resolver o problema aparécenos unha misteriosa familia de rectas paralelas (en vermello na aplicación). Para cada unha desas rectas a función obxectivo toma un valor. Movendo o esvarador veremos que o máximo dáse no punto B1=(4,0).
Do que se trata é de determinar, de entre todos os puntos da rexión factible T cal é (cales son) aquel para o que a función obxectivo toma o maior valor. (Noutros problemas interesa o valor mínimo).
A solución do problema pódese consultar na seguinte aplicación. Ao resolver o problema aparécenos unha misteriosa familia de rectas paralelas (en vermello na aplicación). Para cada unha desas rectas a función obxectivo toma un valor. Movendo o esvarador veremos que o máximo dáse no punto B1=(4,0).
Pero o realmente interesante, a explicación de por que o método funciona, pode vir de engadir unha nova dimensión. Se consideramos a mesma serie de restriccións no espazo tridimensional, no canto de termos o triángulo T que forma a nosa rexión factible, obteremos unha rexión 3D, $$T\times \Re $$. Se no plano cada unha das ecuacións asociadas ás restricción daban lugar a recta, no espazo teremos planos.
A introdución dunha nova dimensión cobra todo o seu sentido ao estudar a función obxectivo como unha nova variable: z=f(x,y)=2x+y. Neste caso temos un novo plano que corta oblícuamente á rexión $$T\times \Re $$
Do que se trata é de determinar o punto que alcanza a maior altura. O punto é B=(4,0,8). A súa proxección sobre o plano XY é a solución que xa obtivemos e está formada polas dúas primeiras coordenadas, (4,0). A terceira coordenada é a que nos dá a altura.
Do que se trata é de determinar o punto que alcanza a maior altura. O punto é B=(4,0,8). A súa proxección sobre o plano XY é a solución que xa obtivemos e está formada polas dúas primeiras coordenadas, (4,0). A terceira coordenada é a que nos dá a altura.
Para cada valor de z temos un plano paralelo ao plano XY. Consideremos por exemplo o plano z=4 (en azul na seguinte aplicación), que cortará ao plano z=2x+y nunha recta. A proxección desta recta sobre o plano XY é esa misteriosa recta na que todos os puntos da función obxectivo valen 4; trátase da recta 2x+y=4. Non é por casualidade que a estas rectas tamén se lles chame rectas de nivel. Con todo, de entre todos os libros de texto que consultei, só nun facían referencia a esta denominación, aínda que non explicaban a razón da mesma.
O malo desta explicación é que quen mellor a pode entender é o alumnado da materia Matemáticas II, máis habituado ao traballo coa xeometría tridimensional. Pero precisamente no seu currículo non aparece a programación linear, xa que é un tema exclusivo do de Matemáticas Aplicadas ás CC.SS. II. No temario desta última materia non hai referencias á xeometría tridimensional, aínda que é moi recomendable facelo cando se trata a resolución de sistemas de ecuacións lineares. Claro que se un perde o tempo en todas estas referencias á xeometría terá moitas dificultades en tratar todo o temario. Cousas dos currículos.